On peut faire une analogie avec un ruisseau dans lequel on jette à intervalle régulier des feuilles. En remontant le courant on comptera plus des feuilles sur un même temps, et de plus en plus souvent si on accélère. Au contraire, en descendant le courant , on verra des feuilles de moins en moins souvent, jusqu'à ne plus en voir qu'une si l'on va à la même vitesse que le courant.Le travail est plus simple si l’on considère des balles
tirées à intervalles réguliers, au lieu d’ondes, c’est la même chose, on
utilise alors des particules. Au repos on a : c=l.
f où f est la fréquence des tirs,
(10balles par seconde par exemple) c une constante, la vitesse des balles
dans l’air, et l
la longueur d’onde, la distance entre 2 balles consécutives .Exemple, la
vitesse est de 100m/s, la fréquence 10/s, la longueur d’onde sera de 10 m.
L’inverse de la fréquence, c’est la période p=1/f .Exemple ici la période,
est de 1/10 s, c’est le temps entre 2 balles consécutives.
La voiture qui avance vers l’autre à vitesse v émet ses
balles à intervalle régulier, mais
une fois une balle émise, elle rattrape un peu cette balle, et émet l’autre
balle p secondes plus tard. L’observateur immobile, verra alors arriver sur
lui des balles à vitesse c et de longueur d’onde l’=(c-v).p ou (c-v)/f .
Il pourra poser c=l’.f’ avec f’ fréquence
apparente du récepteur ; et
de suite f’=f.c/(c-v) .Quand
v augmente ; f’ augmente, le son devient plus aigu, on entend ça au
bord des routes. On voit que quand v tend vers c , f’ tend vers l’infini, c’est ce qu’on
appelle pour un avion le mur du son ! Quand v dépasse c, on dirait que
les ondes sont perçues à l’envers ; une sorte d’inversion du temps
dans le train d’onde .Pour v=2c, on a f=-f’ , l’avion arrive avant les
ondes et ensuite on entend le son inversé …
A noter que si l’émetteur fuit le récepteur la formule
devient f’=f.c/(c+v) .Quand la voiture s’éloigne la fréquence
est plus petite, le son est plus grave ! Le fameux
iiiiiiiioooooooouuuuuuaaaaaaaa !
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Résultat
de l’effet Doppler/Fizeau dans l’air. L’effet Doppler dans l’air est assez
connu, au bord d’une route, par exemple, si un véhicule Klaxonne et vient vers
nous, on entend distinctement un son très aigu , qui devient grave quand il
s’éloigne. Pour les courses de formule 1 c’est caractéristique, quand la
voiture passe devant le micro et s’éloigne ensuite.
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On va toujours considérer des balles de fusil ..
Le récepteur avance en direction des balles qui avancent
aussi.
.On va calculer le temps t1 qu’il faudra à ce système pour
rencontre 2 balles consécutives. La distance parcourue par la
voiture pendant ce temps t1 est d=v.t1 , la balle parcourt d’=ct1
avec d+d’=l
, hé oui Donc t1(c+v)= l=1/f .Comme t1 , est la période apparente du
récepteur en mouvement t1=1/f ‘
f ‘ fréquence apparente . On sort alors f‘=f.(v+c)/c qui est très différente de la précédente
équation quand v tend vers (est égal à) c
f’ tend vers
2 f. De même , si le récepteur fuit l’émetteur v passe en –v,
et la fréquence s’annule pour v=c , puis la fréquence devient
négative , à un moment le récepteur rattrapera le premier train
d’onde et ne captera plus rien…
Avec sa relativité ,Einstein postule,
que pour le même phénomène reporté
à la lumière, et à notre univers , on ne
devrait pas faire de différence entre ces 2 points de
vue (emetteur fixe, ou emetteur en mouvement ).
On se reporte au problème d'une étoile
qui nous emet des flashs, et file vers nous en 1 ; en 2 on suppose
que c'est nous qui filons vers elle :
Dans la 1 façon de voir ;le récepteur
file vers la source
on a f'=f.((v+c)/c) comme t= 1/f (temps de rotation par ex )
t'=t.c/(v+c)
De même pour la 2ème façon de calculer
;(la source file vers le récepteur)
t"=t(c-v)/c
ce que l'on veut avoir c'est t"=t' , avec les même
termes, on va chercher un multiplicateur $ qui corrige le temps
t'(cas 1)et t à l'intérieur du vaisseau ou de
l'objet qui file (ou qui semble filer)
pour le 1 ça nous donne t'$=tc/(v+c)
pour le 2 t"=t$(c-v)/c
En posant t"=t' bingo !
$=rac c2/(c2-v2)
Rappelons que j'ai défini le temps plus haut comme l'inverse
de la fréquence, le temps que mets l'objet pour faire
un tour .
Quand v tend vers c , on voit que ce temps tend vers l'infini
, c'est à dire qu'un tour prend un infinité de
temps, le temps ralentit , en fait.
C'est une autre façon de trouver une des équations
de la relativité !!!
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